Historia de analisis
Los griegos encuentran continuas magnitudes
El análisis consiste en aquellas partes de las matemáticas en las que el cambio continuo es importante. Estos incluyen el estudio del movimiento y la geometría de curvas y superficies suaves, en particular, el cálculo de tangentes, áreas y volúmenes. Los antiguos matemáticos griegos hicieron grandes progresos tanto en la teoría como en la práctica del análisis. El descubrimiento de Pitágoras de magnitudes irracionales les impuso la teoría de aproximadamente 500 aC y aproximadamente 450 aC por las paradojas de movimiento de Zenón.
Los pitagóricos y los números irracionales
Inicialmente, los pitagóricos creían que todas las cosas podían medirse por los números naturales discretos (1, 2, 3,
) y sus razones (fracciones ordinarias o los números racionales). Sin embargo, esta creencia fue sacudida por el descubrimiento de que la diagonal de un cuadrado unitario (es decir, un cuadrado cuyos lados tienen una longitud de 1) no puede expresarse como un número racional. Este descubrimiento fue provocado por su propio teorema de Pitágoras, que estableció que el cuadrado en la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados en los otros dos lados: en notación moderna, c 2 = a 2 + b 2. En un cuadrado unitario, la diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, con lados a = b = 1; por lo tanto, su medida es la raíz cuadrada de √2, un número irracional. Contra sus propias intenciones, los pitagóricos habían demostrado que los números racionales no eran suficientes para medir incluso objetos geométricos simples. (Ver Sidebar: Incommensurables.) Su reacción fue crear una aritmética de segmentos de línea, como se encuentra en el Libro II de los Elementos de Euclides (c. 300 a. C.), que incluía una interpretación geométrica de números racionales. Para los griegos, los segmentos de línea eran más generales que los números, porque incluían magnitudes continuas y discretas.
De hecho, la raíz cuadrada de √2 puede relacionarse con los números racionales solo a través de un proceso infinito. Euclides se dio cuenta de esto, quien estudió la aritmética de los números racionales y los segmentos de línea. Su famoso algoritmo euclidiano, cuando se aplica a un par de números naturales, conduce en un número finito de pasos a su máximo divisor común. Sin embargo, cuando se aplica a un par de segmentos de línea con una relación irracional, como la raíz cuadrada de √2 y 1, no termina. Euclides incluso utilizó esta propiedad de no determinación como criterio de irracionalidad. Así, la irracionalidad desafió el concepto griego de número al obligarlos a tratar con procesos infinitos.
Las paradojas de Zenón y el concepto de movimiento.
Así como la raíz cuadrada de √2 fue un desafío al concepto de número de los griegos, las paradojas de Zenón fueron un desafío a su concepto de movimiento. En su Física (c. 350 a. C.), Aristóteles citó a Zenón diciendo:
No hay movimiento porque lo que se mueve debe llegar al medio [del recorrido] antes de llegar al final.
Los argumentos de Zenón se conocen solo a través de Aristóteles, quien los citó principalmente para refutarlos. Presumiblemente, Zeno quería decir que, para llegar a cualquier parte, primero hay que ir a la mitad y antes de ese cuarto del camino y antes del octavo del camino y así sucesivamente. Debido a que este proceso de reducir a la mitad las distancias continuaría hasta el infinito (un concepto que los griegos no aceptarían como sea posible), Zenón afirmó que "probar" que la realidad consiste en ser inmutable. Aún así, a pesar de su odio hacia el infinito, los griegos descubrieron que el concepto era indispensable en las matemáticas de las magnitudes continuas. Entonces razonaron sobre el infinito lo más finito posible, en un marco lógico llamado teoría de las proporciones y utilizando el método del agotamiento.
La teoría de las proporciones fue creada por Eudoxus alrededor de 350 a. C. y preservada en el Libro V de los Elementos de Euclides. Estableció una relación exacta entre magnitudes racionales y magnitudes arbitrarias definiendo dos magnitudes para que fueran iguales si las magnitudes racionales menores que ellas fueran iguales. En otras palabras, dos magnitudes eran diferentes solo si había una magnitud racional estrictamente entre ellas. Esta definición sirvió a los matemáticos durante dos milenios y allanó el camino para la aritmetización del análisis en el siglo XIX, en el que los números arbitrarios se definían rigurosamente en términos de los números racionales. La teoría de las proporciones fue el primer tratamiento riguroso del concepto de límites, una idea que está en el centro del análisis moderno. En términos modernos, la teoría de Eudoxus definió las magnitudes arbitrarias como límites de magnitudes racionales, y los teoremas básicos sobre la suma, la diferencia y el producto de las magnitudes eran equivalentes a los teoremas sobre la suma, la diferencia y el producto de los límites.
