Logaritmo, el exponente o potencia a la que se debe elevar una base para obtener un número dado. Expresado matemáticamente, x es el logaritmo de n a la base b si b x = n, en cuyo caso se escribe x = log b n. Por ejemplo, 2 3 = 8; por lo tanto, 3 es el logaritmo de 8 a base 2, o 3 = log 2 8. De la misma manera, ya que 10 2 = 100, entonces 2 = log 10 100. Logaritmos de este último tipo (es decir, logaritmos con base 10) se denominan logaritmos comunes o briggsianos, y se escriben simplemente log n.
Inventado en el siglo XVII para acelerar los cálculos, los logaritmos redujeron enormemente el tiempo requerido para multiplicar números con muchos dígitos. Eran básicos en el trabajo numérico durante más de 300 años, hasta que la perfección de las máquinas de cálculo mecánico a fines del siglo XIX y las computadoras en el siglo XX los volvieron obsoletos para los cálculos a gran escala. Sin embargo, el logaritmo natural (con base e ≅ 2.71828 y escrito en ln n) sigue siendo una de las funciones más útiles en matemáticas, con aplicaciones a modelos matemáticos en las ciencias físicas y biológicas.
Propiedades de los logaritmos.
Los científicos adoptaron rápidamente los logaritmos debido a varias propiedades útiles que simplificaron los cálculos largos y tediosos. En particular, los científicos podrían encontrar el producto de dos números myn buscando el logaritmo de cada número en una tabla especial, sumando los logaritmos y luego consultando la tabla nuevamente para encontrar el número con ese logaritmo calculado (conocido como antilogaritmo). Expresado en términos de logaritmos comunes, esta relación viene dada por log mn = log m + log n. Por ejemplo, se pueden calcular 100 × 1,000 buscando los logaritmos de 100 (2) y 1,000 (3), sumando los logaritmos juntos (5) y luego encontrando su antilogaritmo (100,000) en la tabla. Del mismo modo, los problemas de división se convierten en problemas de resta con logaritmos: log m / n = log m - log n. Esto no es todo; El cálculo de potencias y raíces puede simplificarse con el uso de logaritmos. Los logaritmos también se pueden convertir entre cualquier base positiva (excepto que 1 no se puede usar como base ya que todos sus poderes son iguales a 1), como se muestra en
tabla de leyes logarítmicas.
Solo los logaritmos para números entre 0 y 10 se incluían típicamente en las tablas de logaritmos. Para obtener el logaritmo de algún número fuera de este rango, el número se escribió primero en notación científica como el producto de sus dígitos significativos y su poder exponencial; por ejemplo, 358 se escribiría como 3.58 × 10 2, y se escribiría 0.0046 como 4.6 × 10 −3. Luego, el logaritmo de los dígitos significativos —una fracción decimal entre 0 y 1, conocida como mantisa— se encontraría en una tabla. Por ejemplo, para encontrar el logaritmo de 358, uno buscaría log 3.58 ≅ 0.55388. Por lo tanto, log 358 = log 3.58 + log 100 = 0.55388 + 2 = 2.55388. En el ejemplo de un número con un exponente negativo, como 0.0046, uno buscaría log 4.6 ≅ 0.66276. Por lo tanto, log 0.0046 = log 4.6 + log 0.001 = 0.66276 - 3 = −2.33724.
