Ecuación diferencial, enunciado matemático que contiene una o más derivadas, es decir, términos que representan las tasas de cambio de cantidades continuamente variables. Las ecuaciones diferenciales son muy comunes en la ciencia y la ingeniería, así como en muchos otros campos de estudio cuantitativo, porque lo que se puede observar y medir directamente para los sistemas que experimentan cambios son sus tasas de cambio. La solución de una ecuación diferencial es, en general, una ecuación que expresa la dependencia funcional de una variable de una o más otras; normalmente contiene términos constantes que no están presentes en la ecuación diferencial original. Otra forma de decir esto es que la solución de una ecuación diferencial produce una función que puede usarse para predecir el comportamiento del sistema original, al menos dentro de ciertas restricciones.
análisis: Newton y ecuaciones diferenciales
La aplicación del análisis son ecuaciones diferenciales, que relacionan las tasas de cambio de varias cantidades con sus valores actuales,
Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías amplias, que a su vez se dividen en muchas subcategorías. Las categorías más importantes son ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales parciales. Cuando la función involucrada en la ecuación depende de una sola variable, sus derivados son derivados ordinarios y la ecuación diferencial se clasifica como una ecuación diferencial ordinaria. Por otro lado, si la función depende de varias variables independientes, de modo que sus derivadas son derivadas parciales, la ecuación diferencial se clasifica como una ecuación diferencial parcial. Los siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:
En estos, y representa la función, y t o x es la variable independiente. Los símbolos k y m se usan aquí para representar constantes específicas.
Cualquiera que sea el tipo, se dice que una ecuación diferencial es del enésimo orden si implica una derivada del enésimo pero ninguna derivada de un orden superior a este. La ecuación es un ejemplo de una ecuación diferencial parcial de segundo orden. Las teorías de las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales son marcadamente diferentes, y por esta razón las dos categorías se tratan por separado.
En lugar de una sola ecuación diferencial, el objeto de estudio puede ser un sistema simultáneo de tales ecuaciones. La formulación de las leyes de la dinámica con frecuencia conduce a tales sistemas. En muchos casos, una única ecuación diferencial del enésimo orden es ventajosamente reemplazable por un sistema de n ecuaciones simultáneas, cada una de las cuales es de primer orden, de modo que se pueden aplicar técnicas de álgebra lineal.
Una ecuación diferencial ordinaria en la que, por ejemplo, la función y la variable independiente se denotan por y y x es en efecto un resumen implícito de las características esenciales de y como función de x. Presumiblemente, estas características serían más accesibles para el análisis si se pudiera producir una fórmula explícita para y. Tal fórmula, o al menos una ecuación en x e y (que no implica derivadas) que es deducible de la ecuación diferencial, se llama una solución de la ecuación diferencial. El proceso de deducir una solución de la ecuación mediante las aplicaciones de álgebra y cálculo se llama resolver o integrar la ecuación. Cabe señalar, sin embargo, que las ecuaciones diferenciales que pueden resolverse explícitamente forman una pequeña minoría. Por lo tanto, la mayoría de las funciones deben estudiarse por métodos indirectos. Incluso su existencia debe probarse cuando no hay posibilidad de producirlo para su inspección. En la práctica, se emplean métodos de análisis numérico, que involucran computadoras, para obtener soluciones aproximadas útiles.
