Lógica y metalogica
En cierto sentido, la lógica debe identificarse con el cálculo de predicados de primer orden, el cálculo en el que las variables están confinadas a individuos de un dominio fijo, aunque también puede incluir la lógica de identidad, simbolizada "=", que toma las propiedades ordinarias de la identidad como parte de la lógica. En este sentido, Gottlob Frege logró un cálculo formal de la lógica ya en 1879. Sin embargo, a veces la lógica se interpreta como que incluye también cálculos de predicados de orden superior, que admiten variables de tipos superiores, como los que se extienden sobre predicados (o clases y relaciones) y así. Pero entonces es un pequeño paso para la inclusión de la teoría de conjuntos, y, de hecho, la teoría de conjuntos axiomática a menudo se considera parte de la lógica. Para los propósitos de este artículo, sin embargo, es más apropiado limitar la discusión a la lógica en el primer sentido.
Es difícil separar los hallazgos significativos en lógica de aquellos en metalogic, porque todos los teoremas de interés para los lógicos son acerca de la lógica y, por lo tanto, pertenecen a la metalogic. Si p es un teorema matemático —en particular, uno sobre lógica— y P es la conjunción de los axiomas matemáticos empleados para probar p, entonces cada p puede convertirse en un teorema, "no-P o p", en lógica. Sin embargo, las matemáticas no se realizan llevando a cabo explícitamente todos los pasos formalizados en la lógica; La selección y comprensión intuitiva de los axiomas es importante tanto para las matemáticas como para la metamatemática. Las derivaciones reales en lógica, como las llevadas a cabo justo antes de la Primera Guerra Mundial por Alfred North Whitehead y Bertrand Russell, tienen poco interés intrínseco para los lógicos. Por lo tanto, podría parecer redundante introducir el término metalogic. Sin embargo, en la clasificación actual, la metalogía se concibe no solo con hallazgos sobre cálculos lógicos sino también con estudios de sistemas formales y lenguajes formales en general.
Un sistema formal ordinario difiere de un cálculo lógico en que el sistema generalmente tiene una interpretación prevista, mientras que el cálculo lógico deja deliberadamente abiertas las posibles interpretaciones. Por lo tanto, se habla, por ejemplo, de la verdad o la falsedad de las oraciones en un sistema formal, pero con respecto a un cálculo lógico se habla de validez (es decir, ser verdadero en todas las interpretaciones o en todos los mundos posibles) y de satisfacción (o tener un modelo, es decir, ser cierto en alguna interpretación particular). Por lo tanto, la integridad de un cálculo lógico tiene un significado bastante diferente del de un sistema formal: un cálculo lógico permite muchas oraciones de modo que ni la oración ni su negación sean un teorema porque es verdadero en algunas interpretaciones y falso en otras, y solo requiere que cada oración válida sea un teorema.
