Geometría euclidiana
Si consideramos la geometría euclidiana, discernimos claramente que se refiere a las leyes que regulan las posiciones de los cuerpos rígidos. Resulta dar cuenta de la ingeniosa idea de rastrear todas las relaciones relativas a los cuerpos y sus posiciones relativas al concepto muy simple de "distancia" (Strecke). La distancia denota un cuerpo rígido en el que se han especificado dos puntos materiales (marcas). El concepto de igualdad de distancias (y ángulos) se refiere a experimentos que involucran coincidencias; los mismos comentarios se aplican a los teoremas sobre congruencia. Ahora, la geometría euclidiana, en la forma en que Euclides nos la ha transmitido, usa los conceptos fundamentales "línea recta" y "plano" que no parecen corresponder, o en cualquier caso, no tan directamente, con las experiencias. relativo a la posición de los cuerpos rígidos. Sobre esto debe observarse que el concepto de la línea recta puede reducirse al de la distancia.1 Además, a los geómetras les preocupaba menos poner de manifiesto la relación de sus conceptos fundamentales con la experiencia que deducir lógicamente las proposiciones geométricas a partir de algunos axiomas enunciados desde el principio.
Esbocemos brevemente cómo tal vez la base de la geometría euclidiana se pueda obtener del concepto de distancia.
Partimos de la igualdad de distancias (axioma de la igualdad de distancias). Suponga que de dos distancias desiguales, una siempre es mayor que la otra. Los mismos axiomas son para la desigualdad de las distancias como para la desigualdad de los números.
Tres distancias AB 1, BC 1, CA 1 pueden, si CA 1 se elige adecuadamente, tener sus marcas BB 1, CC 1, AA 1 superpuestas entre sí de tal manera que resulte un triángulo ABC. La distancia CA 1 tiene un límite superior para el cual esta construcción todavía es posible. Los puntos A, (BB ') y C se encuentran en una "línea recta" (definición). Esto lleva a los conceptos: producir una distancia en una cantidad igual a sí mismo; dividiendo una distancia en partes iguales; expresar una distancia en términos de un número mediante una varilla de medición (definición del intervalo de espacio entre dos puntos).
Cuando se ha ganado el concepto del intervalo entre dos puntos o la longitud de una distancia de esta manera, solo necesitamos el siguiente axioma (teorema de Pitágoras) para llegar a la geometría euclidiana analíticamente.
A cada punto del espacio (cuerpo de referencia) se pueden asignar tres números (coordenadas) x, y, z, y viceversa, de tal manera que para cada par de puntos A (x 1, y 1, z 1) y B (x 2, y 2, z 2) el teorema sostiene:
número de medida AB = raíz cuadrada {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Todos los conceptos y proposiciones adicionales de la geometría euclidiana se pueden construir de manera puramente lógica sobre esta base, en particular también las proposiciones sobre la línea recta y el plano.
Estas observaciones, por supuesto, no pretenden reemplazar la construcción estrictamente axiomática de la geometría euclidiana. Simplemente deseamos indicar de manera plausible cómo todas las concepciones de la geometría pueden rastrearse hasta la distancia. Igualmente podríamos haber personificado toda la base de la geometría euclidiana en el último teorema anterior. La relación con los fundamentos de la experiencia se proporcionaría por medio de un teorema suplementario.
La coordenada puede y debe elegirse de modo que dos pares de puntos separados por intervalos iguales, calculados con la ayuda del teorema de Pitágoras, puedan coincidir con una y la misma distancia elegida adecuadamente (en un sólido).
Los conceptos y proposiciones de la geometría euclidiana pueden derivarse de la proposición de Pitágoras sin la introducción de cuerpos rígidos; pero estos conceptos y proposiciones no tendrían contenidos que pudieran ser probados. No son proposiciones "verdaderas" sino solo proposiciones lógicamente correctas de contenido puramente formal.
