Hipótesis del continuo, enunciado de la teoría de conjuntos de que el conjunto de números reales (el continuo) es, en cierto sentido, tan pequeño como puede ser. En 1873, el matemático alemán Georg Cantor demostró que el continuo es incontable, es decir, que los números reales son un infinito mayor que los números de conteo, un resultado clave al comenzar la teoría de conjuntos como un sujeto matemático. Además, Cantor desarrolló una forma de clasificar el tamaño de conjuntos infinitos de acuerdo con el número de sus elementos o su cardinalidad. (Véase la teoría de conjuntos: cardinalidad y números transfinitos.) En estos términos, la hipótesis del continuo puede establecerse de la siguiente manera: La cardinalidad del continuo es el número cardinal más pequeño e incontable.
teoría de conjuntos: cardinalidad y números transfinitos
una conjetura conocida como la hipótesis del continuo.
En la notación de Cantor, la hipótesis del continuo puede establecerse mediante la ecuación simple 2 ℵ 0 = ℵ 1, donde ℵ 0 es el número cardinal de un conjunto contable infinito (como el conjunto de números naturales) y los números cardinales de mayor " conjuntos bien ordenados "son ℵ 1, ℵ 2,
, ℵ α,
, indexado por los números ordinales. La cardinalidad del continuo puede ser igual a 2 ℵ 0; así, la hipótesis del continuo descarta la existencia de un conjunto de tamaños intermedios entre los números naturales y el continuo.
Una afirmación más fuerte es la hipótesis del continuo generalizado (GCH): 2 ℵ α = ℵ α + 1 para cada número ordinal α. El matemático polaco Wacław Sierpiński demostró que con GCH se puede derivar el axioma de elección.
Al igual que con el axioma de elección, el matemático estadounidense nacido en Austria Kurt Gödel demostró en 1939 que, si los otros axiomas estándar de Zermelo-Fraenkel (ZF; ver el
tabla) son consistentes, entonces no refutan la hipótesis del continuo o incluso el GCH. Es decir, el resultado de agregar GCH a los otros axiomas sigue siendo consistente. Luego, en 1963, el matemático estadounidense Paul Cohen completó la imagen mostrando, nuevamente bajo el supuesto de que ZF es consistente, que ZF no proporciona una prueba de la hipótesis del continuo.
Dado que ZF no prueba ni refuta la hipótesis del continuo, queda la cuestión de si aceptar la hipótesis del continuo basada en un concepto informal de qué conjuntos son. La respuesta general en la comunidad matemática ha sido negativa: la hipótesis del continuo es una afirmación limitante en un contexto en el que no se conocen razones para imponer un límite. En la teoría de conjuntos, la operación de conjunto de potencia asigna a cada conjunto de cardinalidad ℵ α su conjunto de todos los subconjuntos, que tiene cardinalidad 2 ℵ α. Parece que no hay razón para imponer un límite a la variedad de subconjuntos que podría tener un conjunto infinito.
