Lógica formal

Cuadros semánticos

Desde la década de 1980, otra técnica para determinar la validez de los argumentos en PC o LPC ha ganado cierta popularidad, tanto por su facilidad de aprendizaje como por su implementación directa por parte de los programas de computadora. Originalmente sugerido por el lógico holandés Evert W. Beth, fue desarrollado y publicitado por el matemático y lógico estadounidense Raymond M. Smullyan. Basándose en la observación de que es imposible que las premisas de un argumento válido sean verdaderas mientras la conclusión es falsa, este método intenta interpretar (o evaluar) las premisas de tal manera que todas se satisfagan simultáneamente y la negación de la La conclusión también está satisfecha. El éxito en tal esfuerzo mostraría que el argumento es inválido, mientras que el fracaso en encontrar tal interpretación demostraría que es válido.

La construcción de un cuadro semántico se desarrolla de la siguiente manera: expresa las premisas y la negación de la conclusión de un argumento en PC usando solo la negación (∼) y la disyunción (∨) como conectivos proposicionales. Elimine cada aparición de dos signos de negación en una secuencia (por ejemplo, ∼∼∼∼∼a se convierte en ∼a). Ahora construya un diagrama de árbol que se bifurque hacia abajo de modo que cada disyunción sea reemplazada por dos ramas, una para la disyunción izquierda y otra para la derecha. La disyunción original es verdadera si cualquiera de las ramas es verdadera. La referencia a las leyes de De Morgan muestra que una negación de una disyunción es verdadera en caso de que las negaciones de ambos disjuntos sean verdaderas [es decir, ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Esta observación semántica lleva a la regla de que la negación de una disyunción se convierte en una rama que contiene la negación de cada disyunción:

Considere el siguiente argumento:

Escribir:

Ahora elimine la disyunción y forme dos ramas:

Solo si todas las oraciones en al menos una rama son verdaderas es posible que las premisas originales sean verdaderas y la conclusión falsa (equivalente a la negación de la conclusión). Al rastrear la línea hacia arriba en cada rama hasta la parte superior del árbol, se observa que ninguna valoración de a en la rama izquierda dará como resultado que todas las oraciones en esa rama reciban el valor verdadero (debido a la presencia de ay ∼a). De manera similar, en la rama derecha, la presencia de by ∼b hace imposible que una valoración dé como resultado que todas las oraciones de la rama reciban el valor verdadero. Estas son todas las ramas posibles; por lo tanto, es imposible encontrar una situación en la que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. El argumento original es por lo tanto válido.

Esta técnica se puede ampliar para tratar con otros conectivos:

Además, en LPC, se deben introducir reglas para instanciar wffs cuantificados. Claramente, cualquier rama que contenga tanto (∀x) ϕx como ∼ϕy es una en la que no todas las oraciones en esa rama pueden satisfacerse simultáneamente (bajo el supuesto de consistencia ω; ver metalogica). Nuevamente, si todas las ramas no son simultáneamente satisfactorias, el argumento original es válido.

Sistemas especiales de LPC

LPC como se expuso anteriormente puede modificarse restringiendo o extendiendo el rango de wffs de varias maneras:

• 1. Sistemas parciales de LPC. Aquí se describen algunos de los sistemas más importantes producidos por restricción:

  • a.Puede ser necesario que cada variable predicada sea monádica mientras permite un número infinito de variables individuales y predicadas. Los wffs atómicos son simplemente aquellos que consisten en una variable predicada seguida de una sola variable individual. De lo contrario, las reglas de formación permanecen como antes, y la definición de validez también es como antes, aunque simplificada de manera obvia. Este sistema se conoce como el LPC monádico; Proporciona una lógica de propiedades pero no de relaciones. Una característica importante de este sistema es que es decidible. (Sin embargo, la introducción de incluso una sola variable de predicado diádico haría que el sistema sea indecidible y, de hecho, incluso el sistema que contiene una sola variable de predicado diádico y ninguna otra variable de predicado se ha demostrado que es indecidible).

  • b Se puede formar un sistema aún más simple al requerir (1) que cada variable predicada sea monádica, (2) que solo se use una sola variable individual (por ejemplo, x), (3) que cada aparición de esta variable esté vinculada, y (4) que ningún cuantificador ocurra dentro del alcance de ningún otro. Ejemplos de wffs de este sistema son (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] (“Lo que sea ϕ es tanto ψ como χ”); (∃x) (ϕx · ∼ψx) (“Hay algo que es ϕ pero no ψ”); y (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) (“Si lo que sea ϕ es ψ, entonces algo es ϕ y ψ”). La notación para este sistema se puede simplificar omitiendo x en todas partes y escribiendo ∃ϕ para "Algo es ϕ", ∀ (ϕ ⊃ ψ) para "Lo que sea ϕ es ψ", y así sucesivamente. Aunque este sistema es más rudimentario incluso que el LPC monádico (del cual es un fragmento), las formas de una amplia gama de inferencias pueden representarse en él. También es un sistema decidible, y se pueden dar procedimientos de decisión de tipo elemental.

• 2. Extensiones de LPC. Se han construido sistemas más elaborados, en los que se puede expresar una gama más amplia de proposiciones, agregando a LPC nuevos símbolos de varios tipos. Las adiciones más directas son:

  • Una o más constantes individuales (por ejemplo, a, b,

    ): estas constantes se interpretan como nombres de individuos específicos; formalmente se distinguen de las variables individuales por el hecho de que no pueden ocurrir dentro de los cuantificadores; por ejemplo, (∀x) es un cuantificador pero (∀a) no lo es.

  • Una o más constantes predicadas (por ejemplo, A, B,

    ), cada uno de cierto grado específico, considerado como la designación de propiedades o relaciones específicas.

Otra posible adición, que requiere una explicación algo más completa, consiste en símbolos diseñados para representar funciones. La noción de una función puede explicarse suficientemente para los propósitos actuales como sigue. Se dice que hay una cierta función de n argumentos (o, de grado n) cuando hay una regla que especifica un objeto único (llamado el valor de la función) cada vez que se especifican todos los argumentos. En el dominio de los seres humanos, por ejemplo, "la madre de -" es una función monádica (una función de un argumento), ya que para cada ser humano hay un individuo único que es su madre; y en el dominio de los números naturales (es decir, 0, 1, 2,

), "La suma de - y -" es una función de dos argumentos, ya que para cualquier par de números naturales hay un número natural que es su suma. Se puede pensar que un símbolo de función forma un nombre a partir de otros nombres (sus argumentos); así, cuando x e y nombran números, "la suma de x e y" también nombra un número, y de manera similar para otros tipos de funciones y argumentos.

Para permitir que las funciones se expresen en LPC se pueden agregar:

• c. Una o más variables de función (por ejemplo, f, g,

  ) o una o más constantes de función (por ejemplo, F, G,

  ) o ambos, cada uno de algún grado especificado. Los primeros se interpretan como funciones sobre los grados especificados y los segundos como funciones específicas de ese grado.

Cuando se agrega una parte o la totalidad de a – c a LPC, las reglas de formación enumeradas en el primer párrafo de la sección sobre el cálculo del predicado inferior (ver arriba El cálculo del predicado inferior) deben modificarse para permitir que los nuevos símbolos se incorporen wffs Esto se puede hacer de la siguiente manera: un término se define primero como (1) una variable individual o (2) una constante individual o (3) cualquier expresión formada al prefijar una variable de función o constante de función de grado n a cualquier n términos (estos términos, los argumentos del símbolo de la función, generalmente están separados por comas y entre paréntesis). La regla de formación 1 se reemplaza por:

• 1′. Una expresión que consiste en una variable predicado o constante predicado de grado n seguido de n términos es un wff.

La base axiomática dada en la sección sobre la axiomatización de LPC (ver arriba Axiomatización de LPC) también requiere la siguiente modificación: en el esquema de axioma 2, cualquier término puede reemplazar a cuando se forma β, siempre que no haya ninguna variable libre en el el término se une en β. Los siguientes ejemplos ilustrarán el uso de las adiciones mencionadas anteriormente a LPC: deje que los valores de las variables individuales sean los números naturales; deje que las constantes individuales ayb representen los números 2 y 3, respectivamente; que A signifique "es primo"; y deje que F represente la función diádica "la suma de". Entonces AF (a, b) expresa la proposición “La suma de 2 y 3 es primo” y (∃x) AF (x, a) expresa la proposición “Existe un número tal que la suma de él y 2 es primo."

La introducción de constantes suele ir acompañada de la adición a la base axiomática de axiomas especiales que contienen esas constantes, diseñadas para expresar los principios que poseen los objetos, propiedades, relaciones o funciones representadas por ellos, aunque no contienen objetos, propiedades., relaciones o funciones en general. Se puede decidir, por ejemplo, utilizar la constante A para representar la relación diádica "es mayor que" (de modo que Axy significa "x es mayor que y" y así sucesivamente). Esta relación, a diferencia de muchas otras, es transitiva; es decir, si un objeto es mayor que un segundo y ese segundo es a su vez mayor que un tercero, entonces el primero es mayor que el tercero. Por lo tanto, se puede agregar el siguiente esquema de axioma especial: si t ₁, t ₂ y t ₃ son términos, entonces (En ₁ t ₂ · En ₂ t ₃) ⊃ En ₁ t ₃ es un axioma. De esta manera, se pueden construir sistemas para expresar las estructuras lógicas de varias disciplinas particulares. El área en la que se ha realizado la mayoría de los trabajos de este tipo es el de la aritmética de números naturales.

PC y LPC a veces se combinan en un solo sistema. Esto se puede hacer simplemente agregando variables proposicionales a la lista de primitivas LPC, agregando una regla de formación en el sentido de que una variable proposicional independiente es un wff, y eliminando "LPC" en el esquema del axioma 1. Esto produce como wffs tales expresiones como (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx y (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3. LPC con identidad. La palabra "es" no siempre se usa de la misma manera. En una proposición como (1) "Sócrates tiene la nariz chata", la expresión que precede al "es" nombra a un individuo y la expresión que sigue representa una propiedad atribuida a ese individuo. Pero, en una proposición como (2) "Sócrates es el filósofo ateniense que bebió cicuta", las expresiones que preceden y siguen al "es" ambos nombran individuos, y el sentido de toda la proposición es que el individuo nombrado por el primero es el mismo individuo que el individuo nombrado por el segundo. Por lo tanto, en 2 "es" se puede ampliar a "es el mismo individuo que", mientras que en 1 no se puede. Como se usa en 2, "es" representa una relación diádica, es decir, identidad, que la proposición afirma mantener entre los dos individuos. Una propuesta de identidad debe entenderse en este contexto como afirmando no más que esto; en particular, no debe tomarse como una afirmación de que las dos expresiones de denominación tienen el mismo significado. Un ejemplo muy discutido para ilustrar este último punto es "La estrella de la mañana es la estrella de la tarde". Es falso que las expresiones "la estrella de la mañana" y "la estrella de la tarde" significan lo mismo, pero es cierto que el objeto al que se refiere el primero es el mismo que el segundo (el planeta Venus).

Para permitir que se expresen las formas de las proposiciones de identidad, se agrega una constante de predicado diádico a LPC, para la cual la notación más habitual es = (escrita entre, y no antes, sus argumentos). La interpretación prevista de x = y es que x es el mismo individuo que y, y la lectura más conveniente es "x es idéntico a y". Su negación ∼ (x = y) se abrevia comúnmente como x ≠ y. A la definición de un modelo LPC dada anteriormente (ver arriba Validez en LPC) ahora se agrega la regla (que concuerda de manera obvia con la interpretación prevista) de que el valor de x = y debe ser 1 si el mismo miembro de D se asigna tanto a x como a y, de lo contrario, su valor será 0; La validez se puede definir como antes. Las siguientes adiciones (o algunas equivalentes) se hacen a la base axiomática para LPC: el axioma x = x y el esquema de axioma que, donde a y b son variables individuales y α y β son wffs que solo difieren en eso, en uno o más lugares donde α tiene una ocurrencia libre de a, β tiene una ocurrencia libre de b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) es un axioma. Tal sistema se conoce como cálculo de predicado inferior con identidad; por supuesto, se puede aumentar aún más de las otras formas mencionadas anteriormente en "Extensiones de LPC", en cuyo caso cualquier término puede ser un argumento de =.

La identidad es una relación de equivalencia; es decir, es reflexivo, simétrico y transitivo. Su reflexividad se expresa directamente en el axioma x = x, y los teoremas que expresan su simetría y transitividad pueden derivarse fácilmente de la base dada.

Ciertos wffs de LPC con identidad expresan proposiciones sobre el número de cosas que poseen una propiedad dada. "Al menos una cosa es ϕ" podría, por supuesto, ya expresarse por (∃x) ϕx; “Al menos dos cosas distintas (no idénticas) son ϕ” ahora se pueden expresar con (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); y la secuencia puede continuar de manera obvia. “A lo sumo, una cosa es ϕ” (es decir, “No hay dos cosas distintas que sean ambas ϕ”) puede expresarse mediante la negación del último wff mencionado o por su equivalente, (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y], y la secuencia puede continuar nuevamente fácilmente. Se puede obtener una fórmula para "Exactamente una cosa es ϕ" combinando las fórmulas para "Al menos una cosa es ϕ" y "Como máximo una cosa es ϕ", pero un wff más simple equivalente a esta conjunción es (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], que significa "Hay algo que es ϕ, y cualquier cosa que sea ϕ es esa cosa". La proposición “Exactamente dos cosas son ϕ” puede representarse con (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; es decir, "Hay dos cosas no idénticas, cada una de las cuales es ϕ, y cualquier cosa que sea ϕ es una u otra de estas". Claramente, esta secuencia también se puede extender para dar una fórmula para "Exactamente n las cosas son ϕ" para cada número natural n. Es conveniente abreviar el wff para "Exactamente una cosa es ϕ" a (∃! X) ϕx. Este cuantificador especial se lee frecuentemente en voz alta como "E-Shriek x".

Descripciones definidas

Cuando cierta propiedad ϕ pertenece a un solo objeto, es conveniente tener una expresión que nombre ese objeto. Una notación común para este propósito es (ιx) ϕx, que puede leerse como "lo que es ϕ" o más brevemente como "el ϕ". En general, donde a es cualquier variable individual y α es cualquier wff, (ιa) α representa el valor único de a que hace que α sea verdadero. Una expresión de la forma "el tal y tal" se llama una descripción definitiva; y (ιx), conocido como operador de descripción, puede considerarse que forma un nombre de un individuo a partir de un formulario de propuesta. (ιx) es análogo a un cuantificador en el sentido de que, cuando se antepone a un wff α, une cada aparición libre de x en α. El relanzamiento de variables enlazadas también es permisible; en el caso más simple, (ιx) ϕx y (ιy) ϕy se pueden leer simplemente como "el ϕ".

En lo que respecta a las reglas de formación, se pueden incorporar descripciones definidas en LPC dejando que las expresiones de la forma (ιa) α cuenten como términos; la regla 1 'anterior, en "Extensiones de LPC", les permitirá aparecer en fórmulas atómicas (incluidas las fórmulas de identidad). "El ϕ es (es decir, tiene la propiedad) ψ" se puede expresar como ψ (ιx) ϕx; "Y es (el mismo individuo que) el ϕ" como y = (ιx) ϕx; “El ϕ es (el mismo individuo que) el ψ” como (ιx) ϕx = (ιy) ψy; Etcétera.

El análisis correcto de las proposiciones que contienen descripciones definidas ha sido objeto de considerable controversia filosófica. Sin embargo, una explicación ampliamente aceptada, sustancialmente presentada en Principia Mathematica y conocida como la teoría de las descripciones de Russell, sostiene que "El ϕ es ψ" debe entenderse como que significa que exactamente una cosa es ϕ y esa cosa también es ψ. En ese caso, puede expresarse mediante una wff de LPC-con-identidad que no contiene operadores de descripción, a saber, (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Análogamente, "y es el ϕ" se analiza como "y es ϕ y nada más es ϕ" y, por lo tanto, como se puede expresar con (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). "El ϕ es el ψ" se analiza como "Exactamente una cosa es ϕ, exactamente una cosa es ψ, y lo que sea ϕ es ψ" y, por lo tanto, como se puede expresar con (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx y (ιx) ϕx = (ιy) ψy pueden considerarse abreviaturas para (1), (2) y (3), respectivamente; y al generalizar a casos más complejos, todos los wffs que contienen operadores de descripción pueden considerarse abreviaciones para wffs más largos que no lo tienen.

El análisis que conduce a (1) como una fórmula para “The ϕ is ψ” lleva a lo siguiente para “The ϕ is not ψ”: (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. Es importante tener en cuenta que (4) no es la negación de (1); esta negación es, en cambio, (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. La diferencia de significado entre (4) y (5) radica en el hecho de que (4) es verdadero solo cuando hay exactamente una cosa que es ϕ y esa cosa no es ψ, pero (5) es cierto tanto en este caso como en también cuando nada es ϕ y cuando más de una cosa es ϕ. El descuido de la distinción entre (4) y (5) puede dar lugar a una seria confusión de pensamiento; En el habla ordinaria, a menudo no está claro si alguien que niega que el ϕ es ψ está admitiendo que exactamente una cosa es ϕ, pero niega que sea ψ o niega que exactamente una cosa sea ϕ.

La afirmación básica de la teoría de las descripciones de Russell es que una proposición que contiene una descripción definida no debe considerarse como una afirmación sobre un objeto del cual esa descripción es un nombre, sino más bien como una afirmación cuantificada existencialmente de que cierta propiedad (más bien compleja) tiene una instancia. Formalmente, esto se refleja en las reglas para eliminar los operadores de descripción descritos anteriormente.