Teoría de la categoría
Abstraccion en matematicas
Una tendencia reciente en el desarrollo de las matemáticas ha sido el proceso gradual de abstracción. El matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) demostró que las ecuaciones de quinto grado no pueden, en general, ser resueltas por radicales. El matemático francés Évariste Galois (1811-1832), motivado en parte por el trabajo de Abel, introdujo ciertos grupos de permutaciones para determinar las condiciones necesarias para que una ecuación polinómica sea solucionable. Estos grupos concretos pronto dieron lugar a grupos abstractos, que se describieron axiomáticamente. Luego se dio cuenta de que para estudiar grupos era necesario observar la relación entre los diferentes grupos, en particular, los homomorfismos que mapean un grupo en otro mientras se preservan las operaciones del grupo. Así, la gente comenzó a estudiar lo que ahora se llama la categoría concreta de grupos, cuyos objetos son grupos y cuyas flechas son homomorfismos. No pasó mucho tiempo para que las categorías concretas fueran reemplazadas por categorías abstractas, nuevamente descritas axiomáticamente.
La noción importante de una categoría fue introducida por Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane al final de la Segunda Guerra Mundial. Estas categorías modernas deben distinguirse de las categorías de Aristóteles, que se denominan mejor tipos en el contexto actual. Una categoría no solo tiene objetos, sino también flechas (denominadas también morfismos, transformaciones o asignaciones) entre ellos.
Muchas categorías tienen como conjuntos de objetos dotados de alguna estructura y flechas, que preservan esta estructura. Por lo tanto, existen las categorías de conjuntos (con estructura vacía) y mapeos, de grupos y homomorfismos de grupo, de anillos y homomorfismos de anillo, de espacios vectoriales y transformaciones lineales, de espacios topológicos y mapeos continuos, y así sucesivamente. Incluso existe, en un nivel aún más abstracto, la categoría de categorías (pequeñas) y functores, como se llaman los morfismos entre categorías, que preservan las relaciones entre los objetos y las flechas.
No todas las categorías se pueden ver de esta manera concreta. Por ejemplo, las fórmulas de un sistema deductivo pueden verse como objetos de una categoría cuyas flechas f: A → B son deducciones de B de A. De hecho, este punto de vista es importante en la informática teórica, donde se piensa en fórmulas como tipos y deducciones como operaciones.
Más formalmente, una categoría consiste en (1) una colección de objetos A, B, C,…, (2) para cada par ordenado de objetos en la colección, una colección asociada de transformaciones que incluye la identidad I A ∶ A → A, y (3) una ley de composición asociada para cada triple ordenado de objetos en la categoría de tal manera que para f ∶ A → B y g ∶ B → C la composición gf (o g ○ f) es una transformación de A a C, es decir, gf ∶ A → C. Además, la ley asociativa y las identidades deben mantenerse (donde las composiciones se definen) = (hg) f -es decir, h (gf) y 1 B f = f = f1 A.
En cierto sentido, los objetos de una categoría abstracta no tienen ventanas, como las mónadas de Leibniz. Para inferir el interior de un objeto A, uno solo necesita mirar todas las flechas de otros objetos a A. Por ejemplo, en la categoría de conjuntos, los elementos de un conjunto A pueden representarse mediante flechas de un conjunto típico de un elemento en A. del mismo modo, en la categoría de pequeñas categorías, si 1 es la categoría con un objeto y no hay flechas no identidad, los objetos de una categoría a pueden ser identificados con los funtores 1 → a. Por otra parte, si 2 es la categoría con dos objetos y una flecha no identidad, las flechas de A pueden ser identificados con los funtores 2 → A.
Estructuras isomorfas
Una flecha f: A → B se llama un isomorfismo si hay una flecha g: B → A inversa a f, es decir, tal que g ○ f = 1 A y f ○ g = 1 B. Esto se escribe A ≅ B, y A y B se llaman isomorfos, lo que significa que tienen esencialmente la misma estructura y que no hay necesidad de distinguirlos. En la medida en que las entidades matemáticas son objetos de categorías, se otorgan solo hasta el isomorfismo. Sus construcciones teóricas tradicionales, además de servir a un propósito útil para mostrar consistencia, son realmente irrelevantes.
Por ejemplo, en la construcción habitual del anillo de enteros, un entero se define como una clase de equivalencia de pares (m, n) de números naturales, donde (m, n) es equivalente a (m ′, n ′) si y solo si m + n ′ = m ′ + n. La idea es que la clase de equivalencia de (m, n) se vea como m - n. Sin embargo, lo que es importante para un categorista es que el anillo ℤ de enteros es un objeto inicial en la categoría de anillos y homomorfismos, es decir, que para cada anillo ℝ hay un homomorfismo único ℤ → ℝ. Visto de esta manera, ℤ se da solo hasta el isomorfismo. En el mismo espíritu, no se debe decir que ℤ está contenido en el campo ℚ de números racionales, sino que el homomorfismo ℤ → ℚ es uno a uno. Del mismo modo, no tiene sentido hablar de la intersección teórica de conjuntos de π y raíz cuadrada de √-1, si ambos se expresan como conjuntos de conjuntos de conjuntos (ad infinitum).
De especial interés en fundaciones y otros lugares son los functores adjuntos (F, G). Estos son pares de functores entre dos categorías ? y ℬ, que van en direcciones opuestas de tal manera que existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto de flechas F (A) → B en ℬ y el conjunto de flechas A → G (B) en ?, es decir, los conjuntos son isomorfos.
