Kurt Gödel, Gödel también deletreó Goedel, (nacido el 28 de abril de 1906, Brünn, Austria-Hungría [ahora Brno, Rep. Checa]) - murió el 14 de enero de 1978, Princeton, NJ, EE. UU., Matemático, lógico y nacido en Austria filósofo que obtuvo lo que puede ser el resultado matemático más importante del siglo XX: su famoso teorema de incompletitud, que establece que dentro de cualquier sistema matemático axiomático hay proposiciones que no pueden probarse ni refutarse sobre la base de los axiomas dentro de ese sistema; por lo tanto, dicho sistema no puede ser simultáneamente completo y consistente. Esta prueba estableció a Gödel como uno de los mejores lógicos desde Aristóteles, y sus repercusiones continúan sintiéndose y debatiéndose hoy.
fundamentos de las matemáticas: Gödel
Implícito en el programa de Hilbert había estado la esperanza de que la noción sintáctica de demostrabilidad capturaría la noción semántica de la verdad. Gödel
Vida temprana y carrera
Gödel sufrió varios períodos de mala salud cuando era niño, después de un combate a la edad de 6 años con fiebre reumática, lo que lo hizo temer tener algún problema cardíaco residual. Su preocupación de por vida con su salud puede haber contribuido a su eventual paranoia, que incluía limpiar obsesivamente sus utensilios para comer y preocuparse por la pureza de su comida.
Como austríaco de habla alemana, Gödel se encontró de repente viviendo en el país recién formado de Checoslovaquia cuando el Imperio Austrohúngaro se rompió al final de la Primera Guerra Mundial en 1918. Sin embargo, seis años más tarde, fue a estudiar a Austria., en la Universidad de Viena, donde obtuvo su doctorado en matemáticas en 1929. Se unió a la facultad de la Universidad de Viena al año siguiente.
Durante ese período, Viena fue uno de los centros intelectuales del mundo. Fue el hogar del famoso Círculo de Viena, un grupo de científicos, matemáticos y filósofos que respaldaron la visión naturalista, fuertemente empirista y antimetafísica conocida como positivismo lógico. El asesor de tesis de Gödel, Hans Hahn, fue uno de los líderes del Círculo de Viena, y presentó a su alumno estrella al grupo. Sin embargo, las propias opiniones filosóficas de Gödel no podrían haber sido más diferentes de las de los positivistas. Se suscribió al platonismo, el teísmo y el dualismo mente-cuerpo. Además, también era algo mentalmente inestable y sujeto a paranoia, un problema que empeoró con la edad. Por lo tanto, su contacto con los miembros del Círculo de Viena lo dejó con la sensación de que el siglo XX era hostil a sus ideas.
Teoremas de Gödel
En su tesis doctoral, "Über die Vollständigkeit des Logikkalküls" ("Sobre la integridad del cálculo de la lógica"), publicado en una forma ligeramente acortada en 1930, Gödel demostró uno de los resultados lógicos más importantes del siglo, de hecho, de todo el tiempo, es decir, el teorema de completitud, que estableció que la lógica clásica de primer orden, o el cálculo de predicados, está completa en el sentido de que todas las verdades lógicas de primer orden pueden demostrarse en sistemas de prueba estándar de primer orden.
Esto, sin embargo, no fue nada comparado con lo que Gödel publicó en 1931, a saber, el teorema de incompletitud: "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme" ("Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados"). Hablando en términos generales, este teorema estableció el resultado de que es imposible usar el método axiomático para construir una teoría matemática, en cualquier rama de las matemáticas, que implique todas las verdades en esa rama de las matemáticas. (En Inglaterra, Alfred North Whitehead y Bertrand Russell habían pasado años en dicho programa, que publicaron como Principia Mathematica en tres volúmenes en 1910, 1912 y 1913). Por ejemplo, es imposible llegar a una teoría matemática axiomática que captura incluso todas las verdades sobre los números naturales (0, 1, 2, 3,
) Este fue un resultado negativo extremadamente importante, ya que antes de 1931 muchos matemáticos intentaban hacer precisamente eso: construir sistemas de axiomas que pudieran usarse para probar todas las verdades matemáticas. De hecho, varios lógicos y matemáticos conocidos (por ejemplo, Whitehead, Russell, Gottlob Frege, David Hilbert) dedicaron una parte importante de sus carreras a este proyecto. Desafortunadamente para ellos, el teorema de Gödel destruyó todo este programa de investigación axiomática.
Estrellato internacional y mudanza a los Estados Unidos
Después de la publicación del teorema de incompletitud, Gödel se convirtió en una figura intelectual internacionalmente conocida. Viajó a los Estados Unidos varias veces y dio numerosas conferencias en la Universidad de Princeton en Nueva Jersey, donde conoció a Albert Einstein. Este fue el comienzo de una amistad cercana que duraría hasta la muerte de Einstein en 1955.
Sin embargo, también fue durante este período que la salud mental de Gödel comenzó a deteriorarse. Sufrió episodios de depresión y, después del asesinato de Moritz Schlick, uno de los líderes del Círculo de Viena, por un estudiante trastornado, Gödel sufrió una crisis nerviosa. En los años venideros, sufrió varios más.
Después de que la Alemania nazi anexionara Austria el 12 de marzo de 1938, Gödel se encontró en una situación bastante incómoda, en parte porque tenía una larga historia de asociaciones cercanas con varios miembros judíos del Círculo de Viena (de hecho, había sido atacado en las calles de Viena por jóvenes que pensaban que era judío) y en parte porque estaba repentinamente en peligro de ser reclutado en el ejército alemán. El 20 de septiembre de 1938, Gödel se casó con Adele Nimbursky (née Porkert) y, cuando estalló la Segunda Guerra Mundial un año después, huyó de Europa con su esposa, tomó el ferrocarril transiberiano a través de Asia, navegando a través del Océano Pacífico, y luego tomó otro tren a través de los Estados Unidos hasta Princeton, NJ, donde, con la ayuda de Einstein, tomó un puesto en el recién formado Instituto de Estudios Avanzados (IAS). Pasó el resto de su vida trabajando y enseñando en el IAS, del cual se retiró en 1976. Gödel se convirtió en ciudadano estadounidense en 1948. (Einstein asistió a su audiencia porque el comportamiento de Gödel era bastante impredecible, y Einstein temía que Gödel pudiera sabotear su propio caso)
En 1940, solo unos meses después de su llegada a Princeton, Gödel publicó otro artículo matemático clásico, "Consistencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo generalizado con los axiomas de la teoría de conjuntos", que demostró que el axioma de elección y el continuo Las hipótesis son consistentes con los axiomas estándar (como los axiomas de Zermelo-Fraenkel) de la teoría de conjuntos. Esto estableció la mitad de una conjetura de Gödel, a saber, que la hipótesis del continuo no podía probarse como verdadera o falsa en las teorías de conjuntos estándar. La prueba de Gödel mostró que no podía demostrarse que era falso en esas teorías. En 1963, el matemático estadounidense Paul Cohen demostró que tampoco podía demostrarse que era cierto en esas teorías, reivindicando la conjetura de Gödel.
En 1949, Gödel también hizo una importante contribución a la física, demostrando que la teoría de la relatividad general de Einstein permite la posibilidad de viajar en el tiempo.
