Superficie algebraica

Superficie algebraica, en espacio tridimensional, una superficie cuya ecuación es f (x, y, z) = 0, con f (x, y, z) un polinomio en x, y, z. El orden de la superficie es el grado de la ecuación polinómica. Si la superficie es de primer orden, es un plano. Si la superficie es de orden dos, se llama superficie cuadrática. Al girar la superficie, su ecuación se puede poner en la forma Ax ² + Por ² + Cz ² + Dx + Ey + Fz = G.

Si A, B, C no son todos cero, la ecuación generalmente se puede simplificar al formax ² + por ² + cz ² = 1. Esta superficie se llama un elipsoide si a, byc son positivas. Si uno de los coeficientes es negativo, la superficie es un hiperboloide de una hoja; Si dos de los coeficientes son negativos, la superficie es un hiperboloide de dos hojas. Un hiperboloide de una hoja tiene un punto de silla de montar (un punto en una superficie curva con forma de silla de montar en el que las curvaturas en dos planos perpendiculares son signos opuestos, al igual que una silla se curva hacia arriba en una dirección y hacia abajo en otra).

Si A, B, C son posiblemente cero, entonces se pueden producir cilindros, conos, planos y paraboloides elípticos o hiperbólicos. Ejemplos de esto último son z = x ² + y ² y z = x ² −y ², respectivamente. A través de cada punto de un paso cuádrico pasan dos líneas rectas que yacen en la superficie. Una superficie cúbica es de orden tres. Tiene la propiedad de que hay 27 líneas, cada una de ellas con otras 10. En general, una superficie de orden cuatro o más no contiene líneas rectas.