Geometría de sección cónica

Sección cónica, también llamada cónica, en geometría, cualquier curva producida por la intersección de un plano y un cono circular recto. Dependiendo del ángulo del plano con respecto al cono, la intersección es un círculo, una elipse, una hipérbola o una parábola. Los casos especiales (degenerados) de intersección ocurren cuando el plano pasa solo a través del ápice (produciendo un solo punto) o a través del ápice y otro punto en el cono (produciendo una línea recta o dos líneas rectas que se cruzan). Ver la figura.

geometría proyectiva: secciones cónicas proyectivas

Las secciones cónicas s pueden considerarse como secciones planas de un cono circular derecho (ver la figura). Al respecto

Las descripciones básicas, pero no los nombres, de las secciones cónicas se pueden rastrear hasta Menaechmus (florecido c. 350 a. C.), un alumno de Platón y Eudoxo de Cnidus. Apolonio de Perga (c. 262-190 a. C.), conocido como el "Gran Geómetro", dio a las secciones cónicas sus nombres y fue el primero en definir las dos ramas de la hipérbola (que presuponen el doble cono). El tratado de ocho volúmenes de Apolonio sobre las secciones cónicas, Cónicas, es una de las mejores obras científicas del mundo antiguo.

Definición analítica

Las cónicas también pueden describirse como curvas planas que son las rutas (loci) de un punto en movimiento, de modo que la relación de su distancia desde un punto fijo (el foco) a la distancia desde una línea fija (la directriz) es una constante, llamada La excentricidad de la curva. Si la excentricidad es cero, la curva es un círculo; si es igual a uno, una parábola; si menos de uno, una elipse; y si es mayor que uno, una hipérbola. Ver la figura.

Cada sección cónica corresponde a la gráfica de una ecuación polinómica de segundo grado de la forma Ax ² + Por ² + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0, donde x e y son variables y A, B, C, D, E y F son coeficientes que dependen de la cónica particular. Mediante una elección adecuada de ejes de coordenadas, la ecuación para cualquier cónica se puede reducir a una de tres formas r simples: ^{x 2 / _{a 2} + y 2 / _{b 2} = 1, x 2 / _{a 2} - y 2 / _{b 2} = 1, o y 2 = 2px, correspondiente a una elipse, una hipérbola y una parábola, respectivamente. (Una elipse donde a = b es en realidad un círculo). El uso extensivo de sistemas de coordenadas para el análisis algebraico de curvas geométricas se originó con René Descartes (1596–1650). Ver Historia de la geometría: geometría cartesiana.}

origen griego

La historia temprana de las secciones cónicas se une al problema de "duplicar el cubo". Según Eratóstenes de Cirene (c. 276–190 a. C.), la gente de Delos consultó al oráculo de Apolo para obtener ayuda para terminar con una plaga (c. 430 a. C.) y recibió instrucciones de construirle un nuevo altar del doble del volumen del antiguo altar. y con la misma forma cúbica. Perplejos, los delianos consultaron a Platón, quien declaró que "el oráculo significaba, no que el dios quería un altar del doble del tamaño, sino que deseaba, al establecerles la tarea, avergonzar a los griegos por su descuido de las matemáticas y su desprecio para la geometría ". Hipócrates de Chios (c. 470–410 a. C.) descubrió por primera vez que el "problema de Delian" puede reducirse a la búsqueda de dos proporciones medias entre a y 2a (los volúmenes de los altares respectivos), es decir, determinar x e y tal que un: x = x: y = y: 2a. Esto es equivalente a resolver simultáneamente cualquiera de las dos ecuaciones x ² = ay, y ² = 2ax, y xy = 2a ², que corresponden a dos parábolas y una hipérbola, respectivamente. Más tarde, Arquímedes (c. 290–211 a. C.) mostró cómo usar secciones cónicas para dividir una esfera en dos segmentos que tienen una proporción dada.

Diocles (c. 200 a. C.) demostró geométricamente que los rayos, por ejemplo, del Sol, que son paralelos al eje de un paraboloide de revolución (producido al girar una parábola sobre su eje de simetría) se encuentran en el foco. Se dice que Arquímedes usó esta propiedad para incendiar barcos enemigos. Las propiedades focales de la elipse fueron citadas por Anthemius de Tralles, uno de los arquitectos de la Catedral de Santa Sofía en Constantinopla (completado en el año 537), como un medio para garantizar que un altar pueda ser iluminado por la luz solar todo el día.