Hipótesis de Riemann matemáticas

Hipótesis de Riemann, en teoría de números, hipótesis del matemático alemán Bernhard Riemann sobre la ubicación de soluciones a la función zeta de Riemann, que está conectada con el teorema de los números primos y tiene importantes implicaciones para la distribución de los números primos. Riemann incluyó la hipótesis en un documento, "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Sobre el número de números primos menores que una cantidad dada"), publicado en la edición de noviembre de 1859 de Monatsberichte der Berliner Akademie ("Revisión mensual de la Academia de Berlín ").

La función zeta se define como la serie infinita ζ (s) = 1 + 2 ^−s + 3 ^−s + 4 ^−s + ⋯, o, en notación más compacta, , donde la suma (Σ) de los términos para n va de 1 a infinito a través de los enteros positivos ys es un entero positivo fijo mayor que 1. La función zeta fue estudiada por primera vez por el matemático suizo Leonhard Euler en el siglo XVIII. (Por esta razón, a veces se le llama la función zeta de Euler. Para ζ (1), esta serie es simplemente la serie armónica, conocida desde la antigüedad para aumentar sin límite, es decir, su suma es infinita.) Euler alcanzó fama instantánea cuando demostrado en 1735 que ζ (2) = π ² /6, un problema que había eludido a los más grandes matemáticos de la época, incluyendo la familia suiza Bernoulli (Jakob, Johann, y Daniel). En términos más generales, Euler descubrió (1739) una relación entre el valor de la función zeta para enteros pares y los números de Bernoulli, que son los coeficientes en la expansión de la serie Taylor de x / (e ^x - 1). (Véase también la función exponencial). Aún más sorprendente, en 1737 Euler descubrió una fórmula que relaciona la función zeta, que implica sumar una secuencia infinita de términos que contienen los enteros positivos, y un producto infinito que involucra cada número primo:

Riemann amplió el estudio de la función zeta para incluir los números complejos x + iy, donde i = raíz cuadrada de √ − 1, excepto por la línea x = 1 en el plano complejo. Riemann sabía que la función zeta es igual a cero para todos los enteros pares negativos −2, −4, −6,

(los llamados ceros triviales) y que tiene un número infinito de ceros en la tira crítica de números complejos que caen estrictamente entre las líneas x = 0 yx = 1. También sabía que todos los ceros no triviales son simétricos con respecto a línea crítica x = ¹ / ₂. Riemann conjeturó que todos los ceros no triviales están en la línea crítica, una conjetura que posteriormente se conoció como la hipótesis de Riemann.

En 1914 Inglés el matemático Godfrey Harold Hardy demostró que un número infinito de soluciones de ζ (S) = 0 existe en la línea crítica x = ¹ / ₂. Posteriormente, varios matemáticos demostraron que una gran proporción de las soluciones deben estar en la línea crítica, aunque las frecuentes "pruebas" de que todas las soluciones no triviales están en ella han sido defectuosas. Las computadoras también se han utilizado para probar soluciones, con los primeros 10 billones de soluciones no triviales que se encuentran en la línea crítica.

Una prueba de la hipótesis de Riemann tendría consecuencias de largo alcance para la teoría de números y para el uso de números primos en criptografía.

La hipótesis de Riemann ha sido considerada durante mucho tiempo el mayor problema no resuelto en matemáticas. Fue uno de los 10 problemas matemáticos sin resolver (23 en la dirección impresa) presentado como un desafío para los matemáticos del siglo XX por el matemático alemán David Hilbert en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticas en París el 8 de agosto de 1900. En 2000 el matemático estadounidense Stephen Smale actualizó la idea de Hilbert con una lista de problemas importantes para el siglo XXI; La hipótesis de Riemann era la número uno. En 2000 fue designado un Problema del Milenio, uno de los siete problemas matemáticos seleccionados por el Clay Mathematics Institute de Cambridge, Massachusetts, EE. UU., Para un premio especial. La solución para cada Problema del Milenio tiene un valor de $ 1 millón. En 2008, la Agencia de Proyectos de Investigación Avanzada de Defensa de EE. UU. (DARPA) lo enumeró como uno de los Desafíos Matemáticos de DARPA, 23 problemas matemáticos para los cuales estaba solicitando propuestas de investigación para financiación: “Desafío Matemático Diecinueve: Resolver la Hipótesis de Riemann. El Santo Grial de la teoría de números.