Problema de Sturm-Liouville, o problema de valor propio, en matemáticas, una cierta clase de ecuaciones diferenciales parciales (PDE) sujetas a restricciones adicionales, conocidas como valores límite, en las soluciones. Dichas ecuaciones son comunes tanto en física clásica (p. Ej., Conducción térmica) como en mecánica cuántica (p. Ej., Ecuación de Schrödinger) para describir procesos en los que un valor externo (valor límite) se mantiene constante mientras el sistema de interés transmite alguna forma de energía.
A mediados de la década de 1830, los matemáticos franceses Charles-François Sturm y Joseph Liouville trabajaron de forma independiente en el problema de la conducción del calor a través de una barra de metal, en el proceso desarrollando técnicas para resolver una gran clase de PDE, la más simple de las cuales toma la forma [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 donde y es alguna cantidad física (o la función de onda mecánica cuántica) y λ es un parámetro, o valor propio, que limita la ecuación que y satisface los valores límite en los puntos finales del intervalo en el que se extiende la variable x. Si las funciones p, q, yr satisfacen condiciones adecuadas, la ecuación tendrá una familia de soluciones, llamadas funciones propias, correspondientes a las soluciones de valores propios.
Para el caso no homogéneo más complicado en el que el lado derecho de la ecuación anterior es una función, f (x), en lugar de cero, los valores propios de la ecuación homogénea correspondiente se pueden comparar con los valores propios de la ecuación original. Si estos valores son diferentes, el problema tendrá una solución única. Por otro lado, si uno de estos valores propios coincide, el problema no tendrá solución o toda una familia de soluciones, dependiendo de las propiedades de la función f (x).
