Para Eudoxo de Cnidus (c. 400-350 a. C.) es el honor de ser el primero en mostrar que el área de un círculo es proporcional al cuadrado de su radio. En la notación algebraica actual, esa proporcionalidad se expresa mediante la fórmula familiar A = πr 2. Sin embargo, la constante de proporcionalidad, π, a pesar de su familiaridad, es muy misteriosa, y la búsqueda para comprenderla y encontrar su valor exacto ha ocupado a los matemáticos durante miles de años. Un siglo después de Eudoxo, Arquímedes encontró la primera buena aproximación de π: 3 10 / 71 <π <3 1 / 7. Lo logró al aproximar un círculo con un polígono de 96 lados (ver animación). Se encontraron aproximaciones aún mejores al usar polígonos con más lados, pero estos solo sirvieron para profundizar el misterio, porque no se pudo alcanzar un valor exacto y no se pudo observar ningún patrón en la secuencia de aproximaciones.
Una solución impresionante del misterio fue descubierta por matemáticos indios aproximadamente 1.500 ce: π puede ser representado por el infinito, pero sorprendentemente simple, serie π / 4 = 1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 + ⋯.They descubrió esto como un caso especial de la serie para la función tangente inversa: tan -1 (x) = x - x 3 / 3 + x 5 / 5 - x 7 / 7 + ⋯.
Los descubridores individuales de estos resultados no se conocen con certeza; algunos eruditos los atribuyen a Nilakantha Somayaji, algunos a Madhava. Las pruebas indias son estructuralmente similares a las pruebas descubiertas más tarde en Europa por James Gregory, Gottfried Wilhelm Leibniz y Jakob Bernoulli. La principal diferencia es que, donde los europeos tenían la ventaja del teorema fundamental del cálculo, los indios tenían que encontrar límites de sumas de la forma
Antes del redescubrimiento de Gregory de la serie de tangente inversa alrededor de 1670, se descubrieron otras fórmulas para π en Europa. En 1655 John Wallis descubrió el producto infinito π / 4 = 2 / 3 ∙ 4 / 3 ∙ 4 / 5 ∙ 6 / 5 ∙ 6 / 7 ⋯, y su colega William Brouncker transformó esto en la fracción continua infinita
Por último, en la introducción del Leonhard Euler para Análisis del Infinito (1748), la serie π / 4 = 1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 + ⋯ se transforma en fracción continua de Brouncker, mostrando que las tres fórmulas están en algunos sienten lo mismo.
La fracción continua infinita de Brouncker es particularmente significativa porque sugiere que π no es una fracción ordinaria, en otras palabras, que π es irracional. Precisamente esta idea se utilizó en la primera prueba de que π es irracional, dada por Johann Lambert en 1767.
