Diophantus, de nombre Diophantus de Alejandría, (floreció c. Ce 250), matemático griego, famoso por su trabajo en álgebra.
teoría de los números: Diophantus
De los matemáticos griegos posteriores, especialmente notable es Diophantus de Alejandría (floreció c. 250), autor
Lo poco que se sabe de la vida de Diophantus es circunstancial. De la denominación "de Alejandría" parece que trabajó en el principal centro científico del mundo griego antiguo; y debido a que no se lo menciona antes del siglo IV, parece probable que floreció durante el siglo III. Un epigrama aritmético de la Anthologia Graeca de la antigüedad tardía, que pretendía rastrear algunos hitos de su vida (matrimonio a los 33 años, nacimiento de su hijo a los 38 años, muerte de su hijo cuatro años antes que el suyo a los 84), puede ser inventado. Dos obras nos han llegado bajo su nombre, ambas incompletas. El primero es un pequeño fragmento de números poligonales (un número es poligonal si ese mismo número de puntos se puede organizar en forma de un polígono regular). El segundo, un tratado grande y extremadamente influyente sobre el cual descansa toda la fama antigua y moderna de Diophantus, es su Arithmetica. Su importancia histórica es doble: es el primer trabajo conocido que emplea álgebra en un estilo moderno, e inspiró el renacimiento de la teoría de números.
La Aritmética comienza con una introducción dirigida a Dionisio, posiblemente San Dionisio de Alejandría. Después de algunas generalidades sobre los números, Diophantus explica su simbolismo: usa símbolos para lo desconocido (que corresponde a nuestra x) y sus poderes, positivos o negativos, así como para algunas operaciones aritméticas, la mayoría de estos símbolos son abreviaturas claramente escritas. Esta es la primera y única aparición del simbolismo algebraico antes del siglo XV. Después de enseñar la multiplicación de los poderes de lo desconocido, Diophantus explica la multiplicación de términos positivos y negativos y luego cómo reducir una ecuación a una con solo términos positivos (la forma estándar preferida en la antigüedad). Con estos preliminares fuera del camino, Diophantus continúa con los problemas. De hecho, Arithmetica es esencialmente una colección de problemas con soluciones, alrededor de 260 en la parte aún existente.
La introducción también establece que el trabajo se divide en 13 libros. Seis de estos libros fueron conocidos en Europa a fines del siglo XV, transmitidos en griego por eruditos bizantinos y numerados del I al VI; otros cuatro libros fueron descubiertos en 1968 en una traducción árabe del siglo noveno por Qusṭā ibn Lūqā. Sin embargo, el texto árabe carece de simbolismo matemático, y parece estar basado en un comentario griego posterior, quizás el de Hipatia (c. 370-415), que diluyó la exposición de Diophantus. Ahora sabemos que la numeración de los libros griegos debe modificarse: Arithmetica consiste en los libros I a III en griego, los libros IV a VII en árabe y, presumiblemente, los libros VIII a X en griego (los antiguos libros griegos IV a VI) Nueva numeración es poco probable; es bastante seguro que los bizantinos solo conocían los seis libros que transmitían y los árabes no más que los libros I a VII en la versión comentada.
Los problemas del Libro I no son característicos, siendo en su mayoría simples problemas utilizados para ilustrar el cálculo algebraico. Las características distintivas de los problemas de Diophantus aparecen en los libros posteriores: son indeterminados (tienen más de una solución), son de segundo grado o son reducibles al segundo grado (la potencia más alta en términos variables es 2, es decir, x 2), y termina con la determinación de un valor racional positivo para lo desconocido que hará que una expresión algebraica dada sea un cuadrado numérico o, a veces, un cubo. (A lo largo de su libro, Diophantus usa “número” para referirse a lo que ahora se llaman números positivos y racionales; por lo tanto, un número cuadrado es el cuadrado de algún número positivo y racional.) Los libros II y III también enseñan métodos generales. En tres problemas del Libro II se explica cómo representar: (1) cualquier número cuadrado dado como una suma de los cuadrados de dos números racionales; (2) cualquier número no cuadrado dado, que es la suma de dos cuadrados conocidos, como la suma de otros dos cuadrados; y (3) cualquier número racional dado como la diferencia de dos cuadrados. Si bien los problemas primero y tercero se expresan en general, el conocimiento supuesto de una solución en el segundo problema sugiere que no todos los números racionales son la suma de dos cuadrados. Diophantus luego da la condición para un número entero: el número dado no debe contener ningún factor primo de la forma 4n + 3 elevado a una potencia impar, donde n es un número entero no negativo. Tales ejemplos motivaron el renacimiento de la teoría de números. Aunque Diophantus generalmente está satisfecho de obtener una solución a un problema, ocasionalmente menciona en problemas que existe un número infinito de soluciones.
En los libros IV a VII, Diophantus extiende los métodos básicos, como los descritos anteriormente, a problemas de grados superiores que pueden reducirse a una ecuación binomial de primer o segundo grado. Los prefacios de estos libros afirman que su propósito es proporcionar al lector "experiencia y habilidad". Si bien este descubrimiento reciente no aumenta el conocimiento de las matemáticas de Diophantus, sí altera la evaluación de su capacidad pedagógica. Los libros VIII y IX (presumiblemente los libros griegos IV y V) resuelven problemas más difíciles, incluso si los métodos básicos siguen siendo los mismos. Por ejemplo, un problema implica descomponer un número entero dado en la suma de dos cuadrados que están arbitrariamente cerca uno del otro. Un problema similar implica descomponer un entero dado en la suma de tres cuadrados; en él, Diophantus excluye el caso imposible de enteros de la forma 8n + 7 (de nuevo, n es un entero no negativo). El Libro X (presumiblemente el Libro VI griego) trata con triángulos rectángulos con lados racionales y sujetos a varias condiciones adicionales.
El contenido de los tres libros faltantes de Arithmetica puede deducirse de la introducción, donde, después de decir que la reducción de un problema debería "si es posible" concluir con una ecuación binomial, Diophantus agrega que "más adelante" tratará el caso de una ecuación trinomial, una promesa no cumplida en la parte existente.
Aunque tenía herramientas algebraicas limitadas a su disposición, Diophantus logró resolver una gran variedad de problemas, y la Aritmética inspiró a matemáticos árabes como al-Karajī (c. 980-1030) para aplicar sus métodos. La extensión más famosa de la obra de Diophantus fue Pierre de Fermat (1601–65), el fundador de la teoría moderna de los números. Al margen de su copia de Arithmetica, Fermat escribió varios comentarios, proponiendo nuevas soluciones, correcciones y generalizaciones de los métodos de Diophantus, así como algunas conjeturas como el último teorema de Fermat, que ocupó a los matemáticos para las generaciones venideras. Las ecuaciones indeterminadas restringidas a soluciones integrales se conocen, aunque de manera inapropiada, como ecuaciones diofantinas.
