Riemann zeta función matemática

Función zeta de Riemann, función útil en teoría de números para investigar propiedades de números primos. Escrito como ζ (x), se definió originalmente como la serie infinitaζ (x) = 1 + 2 ^−x + 3 ^−x + 4 ^−x + ⋯. Cuando x = 1, esta serie se llama serie armónica, que aumenta sin límite, es decir, su suma es infinita. Para valores de x mayores que 1, la serie converge a un número finito a medida que se agregan términos sucesivos. Si x es menor que 1, la suma es nuevamente infinita. La función zeta era conocida por el matemático suizo Leonhard Euler en 1737, pero el matemático alemán Bernhard Riemann la estudió por primera vez ampliamente.

En 1859, Riemann publicó un artículo que proporciona una fórmula explícita para el número de números primos hasta cualquier límite preasignado, una mejora decidida sobre el valor aproximado dado por el teorema del número primo. Sin embargo, la fórmula de Riemann dependía de conocer los valores en los que una versión generalizada de la función zeta es igual a cero. (La función zeta de Riemann se define para todos los números complejos, números de la forma x + iy, donde i = raíz cuadrada de √ − 1, excepto la línea x = 1.) Riemann sabía que la función es igual a cero para todos los pares negativos enteros −2, −4, −6,

(los llamados ceros triviales), y que tiene un número infinito de ceros en la tira crítica de números complejos entre las líneas x = 0 y x = 1, y también sabía que todos los ceros no triviales son simétricos con respecto a los críticos línea x = ¹ / ₂. Riemann conjeturó que todos los ceros no triviales están en la línea crítica, una conjetura que posteriormente se conoció como la hipótesis de Riemann.

En 1900, el matemático alemán David Hilbert calificó la hipótesis de Riemann como una de las preguntas más importantes en todas las matemáticas, como lo indica su inclusión en su influyente lista de 23 problemas no resueltos con los que desafió a los matemáticos del siglo XX. En 1915, el matemático inglés Godfrey Hardy demostró que hay un número infinito de ceros en la línea crítica, y en 1986 se demostró que los primeros 1,500,000,001 ceros no triviales estaban en la línea crítica. Aunque la hipótesis aún puede resultar falsa, las investigaciones de este difícil problema han enriquecido la comprensión de los números complejos.